記号で表すとダブルシャープはXのような形でダブルフラットは♭が二つ並んでいます。
意味は、ダブルシャープは全音上げる、ダブルフラットは全音下げる、となります。

よく聞かれるのは、例えばファにダブルシャープがついている場合には、鍵盤はソを弾くわけですが、これはソ、と書いてあってもいいのではないか？ということ。
違うのです。あくまでファ、から全音上がった音なので、ソ、ではないのです。

また、例えばト長調の場合、ファはもともと♯ですが、ダブルシャープになっている時。
ト長調の構成音であるファの♯から半音上がった音、と理解して下さい。
あくまでもファ♯から変化した音で、ソ、になるわけではないのです。
ただのシャープとしないのは誤解を生じさせないため、という風に思って下さい。

ちなみに、ダブルシャープ、ダブルフラットの音をもとに戻す時はナチュラル一つです。なぜなら、もとの高さに戻す、という意味ですから。
ただ、先ほどの調号の付いている高さに戻す場合や、半音だけ戻す場合にはナチュラルの隣にシャープが付きます。

楽譜には本当に沢山の事が書かれています。
意味を理解しないとただの記号ですが、理解することによって生き生きと動き出します。
大変ですが面白いですね。